罗尔定理

罗尔定理其实很简单，说的就是在一个连续可导的函数内，如果区间[a,b][a,b]中存在f(a)=f(b)f(a)=f(b)，那么必有一点ξ\xi 使得f′(ξ)=0f'(\xi)=0。

比较容易发现，连续函数在欧几里得空间上不存在跳跃点和间断点，若某区间两个端点值相等，那么函数必然存在以下情况:

  • 始终为常数
  • 先增后减
  • 先减后增

无论哪种情况，势必会存在某一点的斜率为0

拉格朗日中值定理

对于罗尔定理的进一步推导，我们令：

ϕ(x)=f(x)−(f(a)+f(b)−f(a)b−a(x−a))\phi(x)=f(x)-(f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a))

这里面，f(b)−f(a)b−a\frac{f(b)-f(a)}{b-a}实际上表示区间平均斜率，实际上，根据微分的定义，假设b→ab\to a，此时就是该点的导数。

xx是位于区间(a,b)(a,b)中的一点，根据微分定义，差值就等于当前点减去左端点，而在这里ϕ(x)\phi(x)的定义是依据区间斜率与真实斜率变化的残差。

于是很显然，ϕ(a)=ϕ(b)=0\phi(a)=\phi(b)=0，残差就是真实值。

根据罗尔定理:

ϕ′(ξ)=f′(ξ)−f(b)−f(a)b−a=0\phi'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0

可以得到：

f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)

实际上，y=f(a)+f(b)−f(a)b−a(x−a)y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)是一个直线方程，即链接端点a,ba,b的直线。

ϕ(x)=f(x)−y\phi(x)=f(x)-y

碎碎念

其实罗尔定理不难，从数形结合的角度很容易就解释的通。我们只需要记住，在连续的函数内，若两个端点值相同，那么必然存在一点作为缓冲点，该点的梯度为零。

那么拉格朗日中值定理又是如何推导的？

这里引入了残差的概念，真实值减去模拟值，即减去链接两点的直线，残差毫无疑问在两个端点处为零且相等，那么就必然存在某个点，使得残差的导数为零。

于是可以进一步推导：

ϕ′(x)=f′(x)−f(b)−f(a)b−a=0f′(x)(b−a)=f(b)−f(a)\phi'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0 \\ f'(x)(b-a)=f(b)-f(a)

关键词

罗尔定理：

  • 两端相等，中间导数为零

拉格朗日中值定理

  • 残差端点相等，存在一点导数乘上区间等于区间值差。